4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutova trokuta $ABC$ pri vrhovima $A$, $B$ i $C$ redom. Neka su točke $A'$ i $B'$ redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$.

Promatrajući trokut $ABA'$ vidimo da je $\angle HAB=90^\circ-\angle A'BA=90^\circ-\beta$.

Analogno, promatrajući trokut $ABB'$ dobivamo da je $\angle HBA=90^\circ-\alpha$.

Konačno, iz trokuta $ABH$ slijedi

$$\angle BHA=180^\circ-\angle HBA-\angle HAB=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-(90^\circ-\beta)=180^\circ-\gamma,$$

odnosno $\gamma=180^\circ-\angle BHA$.

Kako je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, zajedno s uvjetom iz zadatka vrijedi $|HM|=\frac12|AB|=|AM|=|BM|$.

Zaključujemo da je $M$ središte opisane kružnice trokutu $ABH$. Kako je i polovište stranice $\overline{AB}$, slijedi da je trokut $ABH$ pravokutan, odnosno $\angle BHA=90^\circ$.

Konačno imamo da je

$$\angle BCA=180^\circ-\angle BHA=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$

odakle zaključujemo da je trokut $ABC$ pravokutan.

Drugo rješenje.

Kao u prethodnom rješenju zaključujemo da je $\angle BHA=90^\circ$.

Dodatno, kao u prethodnom rješenju, označimo nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ s $A'$ i $B'$.

Kako je $\angle BHA=\angle BB'A=90^\circ$, pravci $AH$ i $AC$ su okomiti na $BH$, pa su međusobno paralelni. Kako prolaze istom točkom, slijedi da se radi o istom pravcu, odnosno $H$ leži na pravcu $AC$.

Analogno možemo zaključiti i da se $H$ nalazi na pravcu $BC$.

Zato je $H$ presjek pravaca $AC$ i $BC$, isto kao i točka $C$, odnosno točke $C$ i $H$ se poklapaju.

Zato je $\angle BCA=\angle BHA=90^\circ$, pa je trokut $ABC$ pravokutan.