3. Zadatak

Moramo promatrati sljedeća tri slučaja.

$1^\circ$ Za $x=0$ je $1+5\cdot2^x=6$, a to nije potpun kvadrat.

$2^\circ$ Za $x>0$ je $1+5\cdot2^x\in\mathbb N$, pa imamo

$$1+5\cdot2^x=n^2,$$

za neki prirodni broj $n$. Zato je

$$5\cdot2^x=(n-1)(n+1).$$

Očito broj $n$ mora biti neparan, veći od 1. Jedan od brojeva $n-1$, $n+1$ je djeljiv s 4. Uz to je $n^2-1$ djeljiv s 5, pa je $n^2-1\ge5\cdot8=40$, tj. $n\ge7$.

Jedan od brojeva $n-1$ ili $n+1$ djeljiv je s 5. Jedan od njih djeljiv je s 2, ali nije djeljiv s većom potencijom broja 2; a drugi je djeljiv s $2^{x-1}$. Jasno je da jedan mora biti jednak $2\cdot5$, a drugi $2^{x-1}$. Mogućnosti su: $n-1=10$ ili $n+1=10$. Od toga zadovoljava samo druga mogućnost, tj. $n=9$. Tada je $5\cdot2^x=80$, pa je $x=4$.

$3^\circ$ Za $x<0$ je $1+5\cdot2^x$ racionalan broj s nazivnikom $2^{-x}$. Tada je $1+5\cdot2^x=q^2$, $q\in\mathbb Q$ i nazivnik od $q$ je $2^{-x/2}$. Dakle $x$ je paran. Stavimo li $x=-2y$, $y\in\mathbb N$, imamo

$$2^{2y}+5=(q\cdot2^y)^2.$$

Kako je $q\cdot2^y=r$ cijeli broj, dobivamo

$$5=(r-2^y)(r+2^y).$$

Mora biti $r-2^y=1$ i $r+2^y=5$. Odavde dobivamo $y=1$ i $x=-2$. Tada je

$$1+5\cdot2^x=\frac94=\left(\frac32\right)^2.$$

Dakle, traženi brojevi su $x=4$ i $x=-2$.