1. Zadatak

Kvadriranjem i sređivanjem dobivamo:

$$\begin{aligned}2x^2+3x+5+2\sqrt{(2x^2+5)^2-(3x)^2}+2x^2-3x+5&=9x^2\\2\sqrt{4x^4+11x^2+25}&=5x^2-10\\16x^4+44x^2+100&=25x^4-100x^2+100\\144x^2&=9x^4\\9x^2(x^2-16)&=0.\end{aligned}$$

Rješenja ove jednadžbe su $x\in\{-4,0,4\}$. Očito mora biti $x\ge0$ i $x=0$ nije rješenje polazne jednadžbe. Preostaje jedino $x=4$, i provjerom se vidi da je to doista rješenje.

Drugo rješenje.

Diskriminanta kvadratnih funkcija $f(x)=2x^2\pm3x+5$ jednaka je: $D=(\pm3)^2-4\cdot2\cdot5=-31<0$, pa su izrazi pod korijenom strogo pozitivni. Jednadžba ima smisla samo za $x>0$.

Uočimo da je

$$(2x^2+3x+5)-(2x^2-3x+5)=6x.$$

Lijevu stranu ove jednadžbe možemo zapisati kao razliku kvadrata:

$$\left(\sqrt{2x^2+3x+5}-\sqrt{2x^2-3x+5}\right)\left(\sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}\right)=6x.$$

Druga zagrada s lijeve strane jednaka je $3x$, pa slijedi

$$\sqrt{2x^2+3x+5}-\sqrt{2x^2-3x+5}=2.$$

Zbrajanjem ove jednakosti s onom u zadatku dobiva se

$$2\sqrt{2x^2+3x+5}=3x+2.$$

Kvadriranjem i sređivanjem dobiva se jednadžba $x^2=16$, čija su rješenja $x_1=-4$, i $x_2=4$. Zbog pozitivnosti rješenja ostaje samo $x=4$. Neposredno se provjeri da je to zaista rješenje.