1. Zadatak

Vrijedi

$$\begin{aligned} 1+x^2+x^4&=(1+x+x^2)^2-(2x+2x^2+2x^3)\\ &=(1+x+x^2)^2-2x(1+x+x^2)\\ &=(1+x+x^2)\bigl((1+x+x^2)-2x\bigr). \end{aligned}$$

Stoga danu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$\begin{aligned} (a-1)(1+x+x^2)^2&=(a+1)(1+x+x^2)\bigl((1+x+x^2)-2x\bigr)\\ (1+x+x^2)\bigl(((a-1)-(a+1))(1+x+x^2)+2x(a+1)\bigr)&=0\\ (1+x+x^2)\bigl(-2(1+x+x^2)+2x(a+1)\bigr)&=0\\ (1+x+x^2)(-2-2x-2x^2+2ax+2x)&=0\\ (1+x+x^2)(1-ax+x^2)&=0. \end{aligned}$$

Jednadžba $x^2+x+1=0$ nema realnih rješenja.

Diskriminanta jednadžbe $x^2-ax+1=0$ je $D=a^2-4$, pa ona ima realna rješenja ako i samo ako je $|a|\ge2$.

Za $a\in\langle-2,2\rangle$ dana jednadžba nema realnih rješenja, za $a=2$ jednadžba ima jedno rješenje, $x=1$, a za $a=-2$ rješenje $x=-1$.

Za $a<-2$ i $a>2$ jednadžba ima dva različita realna rješenja,

$$x_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}.$$