5. Zadatak

Funkcija $f(x)=ax^2+bx+c$ nema realnih nultočaka ako i samo ako je $b^2-4ac<0$.

Za $a,b,c\in S$, možemo staviti $a=2^k$, $b=2^s$, $c=2^l$, gdje su $k,l,s\in\{0,1,2,3,4,5\}$.

Tada je

$$b^2-4ac=(2^s)^2-4\cdot2^k\cdot2^l=2^{2s}-2^{2+k+l}$$

pa je uvjet $b^2-4ac<0$ ekvivalentan s $2s<2+k+l$, odnosno s $k+l+1\ge2s$.

Odredimo broj mogućih odabira brojeva $k$, $l$, $s\in\{0,1,2,3,4,5\}$ takvih da vrijedi $k+l+1\ge2s$, ovisno o zbroju $k+l$:

$k+l$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
broj izbora $(k,l)$	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
broj izbora $s$	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6

Zato je ukupan broj funkcija sa željenim svojstvom jednak

$$1\cdot1+2\cdot2+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot3+6\cdot4+5\cdot4+4\cdot5+3\cdot5+2\cdot6+1\cdot6=135.$$