4. Zadatak

Kako su kutovi $\angle AEP$ i $\angle AFP$ pravi, iz Pitagorinog poučka slijedi

$$|PA|^2=|PF|^2+|FA|^2=|PE|^2+|EA|^2,$$

što možemo napisati u obliku

$$|AF|^2-|PE|^2=|AE|^2-|PF|^2,$$ $$(|AF|+|PE|)(|AF|-|PE|)=(|AE|+|PF|)(|AE|-|PF|). \tag{*}$$

Budući da je četverokut $AFPE$ tangencijalan, vrijedi

$$|AF|+|PE|=|AE|+|PF|.$$

pa iz $(*)$ slijedi

$$|AF|-|PE|=|AE|-|PF|.$$

Iz posljednjih dviju jednakosti dobivamo $|PE|=|PF|$.

Analogno dobijemo i $|PD|=|PE|$ pa je $P$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$.