3. Zadatak

Danu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$5^n=3^{2n}-2\cdot3^n\cdot2^n+2^{2n}$$ $$5^n=(3^n-2^n)^2.$$

Desna strana je potpun kvadrat, pa mora biti i lijeva. Stoga je $n$ paran broj, $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}$).

$$5^k=3^{2k}-2^{2k}$$ $$5^k=(3^k-2^k)(3^k+2^k).$$

Razlika brojeva $3^k-2^k$ i $3^k+2^k$ je $2^{k+1}$ pa nije moguće da su oba broja djeljiva s $5$. Zato je jedina mogućnost $3^k-2^k=1$ i $3^k+2^k=5^k$, dakle $k=1$.

Jedino rješenje dane jednadžbe je $n=2k=2$.