4. Zadatak

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $AD$ , $BE$ i $CF$ te ortocentrom $H$ . Dužine $EF$ i $AD$ sijeku se u točki $G$ . Dužina $AK$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i siječe stranicu $BC$ u točki $M$ . Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Rješenje

Označimo kutove $\beta=\angle ABC$ , $\gamma=\angle BCA$ .

Skica službenog rješenja

Budući da je trokut $BFC$ pravokutan, slijedi da je $\angle BCF=90^\circ-\beta$ . Kako je i trokut $CDH$ pravokutan, slijedi da je $\angle DHC=\beta$ . Slijedi da je i $\angle AHF=\beta$ jer su $\angle DHC$ i $\angle AHF$ vršni.

Budući da je $ABKC$ tetivni četverokut, obodni kutovi nad tetivom $AC$ su jednaki $\angle AKC=\angle ABC=\beta$ . Kut $\angle ACK$ je pravi jer je nad promjerom $AK$ (po Talesovom poučku). Sada možemo zaključiti da su trokuti $AFH$ i $ACK$ slični, pa iz te sličnosti slijedi

\frac{|AF|}{|AH|}=\frac{|AC|}{|AK|}. \tag{6}

Četverokut $AFHE$ je tetivni jer je $\angle AFH+\angle HEA=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ . Stoga je i $\angle FEA=\angle FHA=\beta$ , jer su to obodni kutovi nad tetivom $AF$ . Dakle, trokut $AFE$ dijeli kut $\angle BAC=\angle BAE$ s trokutom $ABC$ , a kako je $\angle FEA=\beta$ , slijedi da su trokuti $AEF$ i $ABC$ slični, te je

\frac{|AE|}{|AF|}=\frac{|AB|}{|AC|}. \tag{7}

Budući da je $ABKC$ tetivni četverokut, obodni kutovi nad tetivom $AB$ su jednaki $\angle BKA=\angle BCA=\gamma$ .

U trokutu $AFE$ je $\angle AFE=\gamma$ , pa je njemu komplementaran $\angle HFE=90^\circ-\gamma$ . Uočimo da je $\angle HAE=\angle HFE=90^\circ-\gamma$ , jer su to obodni kutovi u tetivnom četverokutu $AFHE$ . Slijedi da su trokuti $AGE$ i $AMB$ slični, pa je

\frac{|AG|}{|AE|}=\frac{|AM|}{|AB|}. \tag{8}

Množenjem jednakosti (6), (7) i (8), zaključujemo da su omjeri $\frac{|AG|}{|AH|}$ i $\frac{|AM|}{|AK|}$ jednaki. Konačno, prema obratu Talesovog poučka o proporcionalnosti zaključujemo da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Napomena. Nakon što izrazimo kutove kao u ovom rješenju, možemo trigonometrijski pokazati istu jednakost omjera. U pravokutnom trokutu $AFH$ je

\sin\beta=\frac{|AF|}{|AH|},

a u trokutu $AFG$ iz poučka o sinusima dobivamo

\frac{|AG|}{\sin\gamma}=\frac{|AF|}{\sin(90^\circ+\beta-\gamma)}.

Slijedi da je

\frac{|AG|}{|AH|}=\frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(90^\circ+\beta-\gamma)}.

U trokutu $AMB$ je $\angle AMB=180^\circ-\beta-(90^\circ-\gamma)=90^\circ+\gamma-\beta$ , pa je po poučku o sinusima

\frac{|AM|}{\sin\beta}=\frac{|AB|}{\sin(90^\circ+\gamma-\beta)}.

U pravokutnom trokutu $ABK$ je $\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AK|}$ , pa je

\frac{|AM|}{|AK|}=\frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(90^\circ+\gamma-\beta)}.

Kako je $90^\circ+\gamma-\beta+90^\circ+\beta-\gamma=180^\circ$ , vidimo da je $\sin(90^\circ+\gamma-\beta)=\sin(90^\circ+\beta-\gamma)$ . Slijedi da su omjeri $\frac{|AG|}{|AH|}$ i $\frac{|AM|}{|AK|}$ jednaki.