1. Zadatak

Za $m=1$ imamo $m!+8=3^2$, pa je to jedno rješenje.

Za $m\geq2$ broj $m!+8$ je paran broj, pa može biti samo potencija broja 2. Možemo pisati $m!+8=2^k$.

Za $m=2$ i $m=3$ redom lijeva strana je jednaka 10 i 14, a to nisu potencije prostog broja. Za $m=4$ lijeva strana daje $32=2^5$, pa smo dobili drugo rješenje. Za $m=5$ lijeva strana daje $128=2^7$, pa smo dobili još jedno rješenje.

Za $m\geq6$ broj $m!$ je djeljiv sa 16 (jer $m!$ u sebi sadrži faktore 2, 4 i 6). Zato broj $m!+8$ nije djeljiv sa 16. S druge strane, imamo $2^k=m!+8>8$, što znači da je $k\geq4$, odnosno broj $2^k$ djeljiv je sa 16. Dakle, za $m\geq6$ jednadžba $m!+8=2^k$ nema rješenja jer je desna strana jednadžbe djeljiva sa 16, a lijeva nije.

Dakle, sva rješenja su $m=1,4,5$.