2. Zadatak

Uočimo prvo da je $w$ treći korijen iz 1, tj. da vrijedi $w^3=1$.

Pretpostavimo sad da je $n\geq3$. Iz $w^3=1$ slijedi

$$0=a+b+c=a+bw^3+cw^6=3,$$

što je očito nemoguće. Stoga zaključujemo da je $n\leq2$.

Dokažimo da je najveći mogući $n$ koji zadovoljava uvjete zadatka $n=2$. Za $n=2$ dobivamo sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice

$$\begin{aligned} a+b+c&=0,\\ a+bw+cw^2&=1,\\ a+bw^2+cw&=2. \end{aligned}$$

Zbrajanjem gornje tri jednadžbe dobijemo

$$3a+b(1+w+w^2)+c(1+w^2+w)=3.$$

Budući da je $w^3-1=(w-1)(w^2+w+1)=0$, slijedi $w^2+w+1=0$, pa iz gornje jednadžbe dobijemo $a=1$.

Uvrštavanjem $a=1$ u prve dvije jednadžbe sustava dobijemo:

$$b+c=-1$$ $$bw+cw^2=0.$$

Množenjem prve jednadžbe s $-w$ i dodavanjem drugoj slijedi $c(w^2-w)=w$, tj. $c=\frac{1}{w-1}$. Budući da je $b=-1-c$ slijedi $b=-\frac{w}{w-1}$.

Dakle, za $n=2$ traženi kompleksni brojevi su

$$(a,b,c)=\left(1,-\frac{w}{w-1},\frac{1}{w-1}\right),$$

te je $n=2$ zaista najveći broj za koji vrijede uvjeti zadatka.

Napomena. Brojevi $a$, $b$ i $c$ mogu se na razne načine izraziti preko $w$ i treba priznati svaki točan način. Neki primjeri za $(a,b,c)$ su

$$\left(1,\frac{w}{1-w},\frac{1}{w-1}\right),\qquad \left(1,\frac{w-1}{3},-\frac{w+2}{3}\right).$$

Također, trojka $(a,b,c)$ može se zapisati i bez korištenja broja $w$:

$$(a,b,c)=\left(1,\frac{-3+i\sqrt{3}}{6},\frac{-3-i\sqrt{3}}{6}\right).$$