5. Zadatak

Neka je $A'$ drugo sjecište simetrale kuta $\angle BAC$ i opisane kružnice trokuta $ABC$, $P$ polovište od $AO$ i $M$ polovište od $BC$. Označimo s $M'$ i $O'$ nožišta okomica iz $M$ i $O$ na $AA'$ redom.

Pravci $p$ i $OO'$ su okomiti na simetralu kuta $\angle BAC$, pa su paralelni. Primjenom Talesovog teorema na te pravce i kut $\angle OAA'$ dobivamo

$$\frac{|AM'|}{|AO'|}=\frac{|AP|}{|AO|}=\frac12.$$

Odavde je i $|M'O'|=\frac12|AO'|$.

Kako je trokut $AA'O'$ jednakokračan, a $O'$ je ortogonalna projekcija točke $O$ na $AA'$, vrijedi $|AO'|=|A'O'|$.

Poznato je da $A'$ kao sjecište simetrale kuta $\angle BAC$ i kružnice opisane trokutu $BAC$ leži na simetrali dužine $BC$, pa su zato točke $A'$, $O$ i $M$ kolinearne.

Primjenom Talesovog teorema na pravce $p$ i $OO'$ te kut $\angle OA'A$ dobivamo

$$\frac{|O'M'|}{|A'O'|}=\frac{|OM|}{|A'O|}.$$

Iz svega dobivenog zaključujemo

$$|OM|=\frac12|A'O|=\frac{R}{2},$$

gdje je $R$ radijus kružnice opisanom trokutu $ABC$.

Trokut $OMC$ je pravokutan i vrijedi $|OM|=\frac12R=\frac12|OC|$, pa je taj trokut polovica jednakostraničnog trokuta, odnosno $\angle MCO=30^\circ$.

Trokut $BOC$ je jednakokračan, pa je

$$\angle BOC=180^\circ-2\angle MCO=120^\circ.$$

Konačno iz teorema o obodnom i središnjem kutu slijedi

$$\angle BAC=\frac12(360^\circ-\angle BOC)=120^\circ.$$