5. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da je

$$p^m+4=n^2$$

za prirodan broj $n$. Tada je

$$p^m=(n-2)(n+2).$$

Zato je

$$n-2=p^\alpha,\qquad n+2=p^\beta$$

za nenegativne cijele brojeve $\alpha$ i $\beta$. Oduzimanjem slijedi

$$4=p^\alpha\left(p^{\beta-\alpha}-1\right).$$

Budući da je $p$ prost, zaključujemo da je $p=2$ ili $p^\alpha=1$.

U prvom slučaju, za $p=2$ možemo uzeti $m=5$ i dobivamo

$$2^5+4=36,$$

što je kvadrat prirodnog broja.

U drugom slučaju je $\alpha=0$, pa je $n-2=1$, $n=3$ i $n+2=5$. Zato je $p=5$ i $\beta=1$. Zaista, za $m=1$ vrijedi

$$5^1+4=9.$$

Dakle, rješenja su $p=2$ i $p=5$.

Drugo rješenje.

Ponovno pretpostavimo da je $p^m+4=n^2$, pa je $p^m=(n-2)(n+2)$.

Ako je $n-2=1$, onda je $n=3$, $n+2=5$, pa su $p=5$ i $m=1$.

Promotrimo slučaj

$$n-2=p^\alpha,\qquad n+2=p^\beta,$$

pri čemu su $\alpha$ i $\beta$ prirodni brojevi. Budući da $p$ dijeli i $n-2$ i $n+2$, dijeli i njihovu razliku $4$. Jedina preostala mogućnost je $p=2$. Zaista, za $p=2$ možemo uzeti $m=5$ i dobivamo

$$2^5+4=36.$$

Prema tome,

$$\boxed{p=2\ \text{ili}\ p=5}.$$