2. Zadatak

Označimo $ABCD$ vrhove donje strane kocke brida $4$, pri čemu je $A$ donji lijevi vrh prednje strane, a $D$ donji lijevi vrh stražnje strane.

Prema Pitagorinom poučku za trokut $AYD$ slijedi

$$|AY|^2=|AD|^2+|DY|^2=4^2+(1+2+3+4)^2=116,$$

a iz trokuta $AYX$

$$|XY|^2=|AX|^2+|AY|^2=16+116=132.$$

Dakle,

$$|XY|=2\sqrt{33}.$$

Ravnine duž kojih su spojene kocke dijele trokut $AYD$ na slične trokute kao na slici. Duljine dužina paralelnih s $AD$ redom se odnose kao $10:6:3:1$, pa iznose redom

$$4,\qquad \frac{12}{5},\qquad \frac65,\qquad \frac25.$$

Budući da je $\frac{12}{5}<3$, pravac $XY$ siječe kocku brida $3$ u njezinoj lijevoj i desnoj strani.

Analogno, trokut $AYX$ podijeljen je na slične trokute kao na slici i dijagonala $XY$ je ravninama duž kojih su spojene kocke također podijeljena na dijelove čije se duljine odnose kao

$$4:3:2:1.$$

Zato je dio dužine $XY$ unutar kocke brida $3$ jednak $\frac{3}{10}|XY|$. Dakle, traženi dio iznosi

$$\frac{3}{10}\cdot2\sqrt{33}=\boxed{\frac{3\sqrt{33}}5}.$$

Drugi način.

Umjesto trokuta $AYD$ i $AYX$ možemo promatrati samo trokut $DYX$.

Ako je $T$ točka u kojoj pravac $XY$ siječe ravninu duž koje su spojene kocke bridova $4$ i $3$, onda je

$$|TC|=\frac6{10}|XD|=\frac6{10}\cdot4\sqrt2<3\sqrt2.$$

To povlači da pravac $XY$ siječe kocku brida $3$ u njezinoj lijevoj i desnoj strani. Sada izravno vidimo da je dio dužine $XY$ unutar kocke brida $3$ jednak $\frac3{10}|XY|$, pa ponovno dobivamo

$$\boxed{\frac{3\sqrt{33}}5}.$$