7. Zadatak

Prvo rješenje.

Moguće je sa svakog kata doći na svaki drugi. Dovoljno je dokazati da je na svakome katu moguće otići jedan kat iznad i jedan kat ispod.

Da bismo se popeli jedan kat iznad, možemo pritisnuti tipku $A$ četiri puta, a tipku $B$ tri puta, jer

$$4\cdot7+3\cdot(-9)=1.$$

Pritom treba paziti na redoslijed. Ako se nalazimo ispod $50.$ kata, možemo prvo ići gore pomoću tipke $A$, a zatim dolje pomoću tipke $B$. Ako se nalazimo iznad $50.$ kata, možemo prvo pritisnuti tipku $B$ tri puta, a zatim tipku $A$ četiri puta.

Da bismo se spustili jedan kat niže, možemo pritisnuti tipku $A$ pet puta i tipku $B$ četiri puta, jer

$$5\cdot7+4\cdot(-9)=-1.$$

Ako se nalazimo ispod $50.$ kata, možemo prvo ići gore pomoću tipke $A$, a zatim dolje pomoću tipke $B$. Ako se nalazimo iznad $50.$ kata, možemo prvo pritisnuti tipku $B$ četiri puta, a zatim tipku $A$ pet puta.

Drugo rješenje.

Sa svakog kata moguće je spustiti se dva kata niže. Ako smo na $93.$ katu ili niže, prvo pritisnemo tipku $A$ pa $B$, a inače obrnutim redoslijedom.

Ako želimo s kata $i$ na kat $j$, gdje su $i,j\in\{0,1,2,\ldots,99,100\}$, razlikujemo parnost katova. Ako su $i$ i $j$ različite parnosti, dovoljan je jedan pritisak na jednu od tipki, jer su $i+7$ i $i-9$ suprotne parnosti od $i$. Zatim je dovoljno riješiti slučaj kada su $i$ i $j$ iste parnosti.

Ako je početni kat $i$ iznad $j$, spuštamo se po dva kata.

Ako je $i<j\le86$, pritiskanjem tipke $A$ dva puta dolazimo na kat $i+14$, iste parnosti kao $i$. Ponavljajući postupak, doći ćemo na kat $i+14n>j$ uz $i+14n\le100$, pa se ponovnim spuštanjem po dva kata možemo spustiti na $j$.

Preostaje slučaj $i<j$ i $j>86$. Tada je $j-14\le100-14=86$, pa se po prethodnom postupku možemo dovesti s $i$ na $j-14$. Uz dva pritiska na tipku $A$ stižemo na kat $j$.

Dakle, moguće je takvim dizalom doći sa svakog kata na bilo koji drugi.