6. Zadatak

Izrazimo sve četiri duljine u danoj jednakosti preko $b=|AC|$, $c=|AB|$ i $\alpha=\angle BAC$.

U pravokutnom trokutu $ACE$ vrijedi

$$\cos\alpha=\frac{|AE|}{|AC|},$$

pa je

$$|AE|=b\cos\alpha.$$

Odavde je

$$|BE|=|AB|-|AE|=c-b\cos\alpha.$$

Slično, u pravokutnom trokutu $ABD$ vrijedi

$$|AD|=c\cos\alpha,\qquad |CD|=b-c\cos\alpha.$$

Uvrštavanjem u danu jednakost dobivamo

$$b\cos\alpha\cdot c\cos\alpha =(c-b\cos\alpha)(b-c\cos\alpha).$$

To je ekvivalentno jednakosti

$$bc\cos^2\alpha =bc-c^2\cos\alpha-b^2\cos\alpha+bc\cos^2\alpha,$$

pa dobivamo

$$\cos\alpha=\frac{bc}{b^2+c^2}.$$

Primjenom A–G nejednakosti slijedi

$$\cos\alpha=\frac{bc}{b^2+c^2} \le\frac{bc}{2bc}=\frac12.$$

Budući da je $0^\circ<\alpha<90^\circ$, najmanja moguća vrijednost za $\alpha$ je $60^\circ$.

Vrijednost $\alpha=60^\circ$ postiže se kad je trokut $ABC$ jednakostraničan. Ako je duljina njegove stranice $a$, tada je

$$|AE|=|AD|=|BE|=|CD|=\frac a2,$$

pa dana jednakost zaista vrijedi. Zato je tražena najmanja veličina kuta

$$\boxed{60^\circ}.$$