1. Zadatak

Najprije, nužno je $1+z+z^2\neq0$, što znači da $z$ ne smije biti takav da je $z^3=1$ i $z\neq1$. Odnosno, $z$ nije neki od dva treća korijena iz 1 različit od 1.

Pomnožimo cijelu jednadžbu s $1+z+z^2$. Dobivamo jednadžbu

$$(1+z+z^2)(1-z+z^2)(1-z^2+z^4)(1-z^4+z^8)\cdots (1-z^{2^{n-1}}+z^{2^n})=3z^{2^n}.$$

Označimo s $I_n$ lijevu stranu posljednje jednakosti. Dokažimo matematičkom indukcijom po $n$ da vrijedi $I_n=1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}$. U dokazu ćemo koristiti pomoćnu tvrdnju: za svaki prirodan broj $k$ vrijedi

$$(1+z^k+z^{2k})(1-z^k+z^{2k}) =(1+z^{2k})^2-(z^k)^2 =1+z^{2k}+z^{4k}.$$

Dokažimo tvrdnju. Za bazu indukcije, $n=1$, vrijedi

$$I_1=(1+z+z^2)(1-z+z^2)=1+z^2+z^4,$$

pri čemu smo iskoristili pomoćnu tvrdnju za $k=1$. Pretpostavimo da tvrdnja indukcije vrijedi za neki $n$, pa dokažimo da vrijedi i za $n+1$:

$$\begin{aligned} I_{n+1} &=I_n\cdot(1-z^{2^n}+z^{2^{n+1}})\\ &=(1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}})(1-z^{2^n}+z^{2^{n+1}})\\ &=1+z^{2^{n+1}}+z^{2^{n+2}}, \end{aligned}$$

pri čemu smo u pretposljednjoj jednakosti iskoristili pretpostavku indukcije, a u posljednjoj pomoćnu tvrdnju za $k=2^n$. Time smo dokazali tvrdnju indukcije.

Tako smo dobili jednadžbu

$$1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}=3z^{2^n},$$

odnosno

$$z^{2^{n+1}}-2z^{2^n}+1=0, \qquad \text{tj.} \qquad (z^{2^n}-1)^2=0.$$

Konačno, tražena rješenja su svi $2^n$-ti korijeni broja 1, odnosno

$$z_k=\cos\frac{k\pi}{2^{n-1}}+i\sin\frac{k\pi}{2^{n-1}}, \qquad \text{za } k \in \{0,1,2,\ldots,2^n-1\}.$$

Svi ti brojevi uistinu jesu rješenja, jer nijedan $2^n$-ti korijen iz 1 nije ujedno i treći korijen iz 1, osim samog broja 1.