4. Zadatak

Brojevi $x$ i $y$ moraju biti iste parnosti, jer bi inače $x^2+y^2$ bilo neparno, pa bi na lijevoj strani bio neparan broj, a na desnoj strani 14.

Ako su oba broja $x$ i $y$ parna, lijeva strana je djeljiva sa 4, a desna nije.

Neka su oba broja $x$ i $y$ neparna. Tada je $x=2m+1$, $y=2n+1$ za neke $m,n\in\mathbb Z$. Uvrštavanjem u danu jednadžbu slijedi:

$$\begin{aligned} (2m+1)^2+(2n+1)^2-8z&=14\\ 4m^2+4m+1+4n^2+4n+1-8z&=14\\ m(m+1)+n(n+1)-2z&=3 \end{aligned}$$

Brojevi $m(m+1)$, $n(n+1)$ su parni (umnožak dva uzastopna prirodna broja), pa je na lijevoj strani paran broj, a na desnoj neparan. Stoga ova jednadžba nema cjelobrojnih rješenja, pa ni dana jednadžba nema rješenja.