3. Zadatak

Vrijedi $x^4+1\ge2x^2$ $(1)$ i $y^3+y\ge2y^2$, $(2)$ pa zbrajanjem $(1)$ i $(2)$ dobivamo $x^4+y^3+y+1\ge2x^2+2y^2$ iz čega je $x^4+y^3+x^2+y+1\ge3x^2+2y^2$.

Treba još dokazati da vrijedi $3x^2+2y^2>\dfrac92xy$. Primjenom A-G nejednakosti dobivamo $3x^2+2y^2\ge2\sqrt6xy$,

pa budući da je $2\sqrt6=\sqrt{24}>\sqrt{\dfrac{81}4}=\dfrac92$,

vrijedi $x^4+y^3+x^2+y+1\ge2\sqrt6xy>\dfrac92xy$.

U zadatku smo više puta primijenili nejednakost $a^2+b^2\ge2ab$ koja vrijedi za $a,b\in\mathbb R$.