5. Zadatak

Prvo rješenje.

Brojimo kvadrate ovisno o dimenziji, tj. duljini stranice:

kvadrata stranice duljine 1 ima	$20\cdot15$
kvadrata stranice duljine 2 ima	$19\cdot14$
kvadrata stranice duljine 3 ima	$18\cdot13$
$\vdots$	$\vdots$
kvadrata stranice duljine 15 ima	$6\cdot1$

Ukupan broj kvadrata je:

$$\begin{aligned} S&=20\cdot15+19\cdot14+18\cdot13+\ldots+7\cdot2+6\cdot1\\ &=300+266+234+204+176+150+126+104\\ &\quad+84+66+50+36+24+14+6\\ &=1840. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju ustanovimo da kvadrata stranice duljine $d$ ima $(21-d)(16-d)$. Zato je ukupan broj kvadrata:

$$\begin{aligned} S&=\sum_{d=1}^{15}(21-d)(16-d)\\ &=\sum_{d=1}^{15}(21\cdot16-37d+d^2) =15\cdot21\cdot16-37\sum_{d=1}^{15}d+\sum_{d=1}^{15}d^2\\ &=15\cdot21\cdot16-37\cdot\frac{15\cdot(15+1)}2 +\frac{15\cdot(15+1)\cdot(2\cdot15+1)}6\\ &=16\cdot15\cdot\left(21-\frac{37}2+\frac{31}6\right) =240\cdot\frac{23}3=1840. \end{aligned}$$