2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrojimo li jednadžbe dobivamo

$$a^3-a+b^2-3b=28.$$

Za $a\ge4$ je $a^3-a\ge60$, te vrijedi $b^2-3b\ge-2$ za sve prirodne brojeve $b$, pa mora vrijediti $a\le3$.

Ako je $a=1$, onda dobivamo kvadratnu jednadžbu $b^2-3b=28$ koja nema rješenja u prirodnim brojevima. Ako je $a=2$, onda dobivamo kvadratnu jednadžbu $b^2-3b=22$ koja nema rješenja u prirodnim brojevima. Ako je $a=3$, onda dobivamo kvadratnu jednadžbu $b^2-3b=4$, koja ima jedno prirodno rješenje $b=4$ (drugo je $b=-1$).

Dakle, par $(a,b)=(3,4)$ je rješenje jednadžbe koju dobivamo zbrajanjem jednadžbi zadanog sustava. Budući da je $3^3-3\cdot4=15$ i $4^2-3=13$, vidimo da je par $(a,b)=(3,4)$ rješenje zadanog sustava.

Drugo rješenje.

Iz prve jednadžbe zaključujemo da je $a$ djeljivo s 3, tj. možemo pisati $a=3k$ za $k\in\mathbb N$. Prva jednadžba postaje $b=9k^3-5$, pa uvrštavanjem u drugu jednadžbu dobivamo

$$(9k^3-5)^2-3k=13,$$

odnosno

$$27k^6-30k^3-k+4=0.$$

Budući da je $k$ prirodni broj, zaključujemo da $k$ dijeli 4. Nadalje, iz gornje jednadžbe vidimo da $-k+4$ mora biti djeljivo s 3, pa $k$ ne može biti ni 2 ni 4.

Ako je $k=1$, onda je $a=3k=3$ i $b=9k^3-5=4$. Dakle, $(a,b)=(3,4)$ je rješenje prve jednadžbe. Za $k=1$, izraz $27k^6-30k^3-k+4$ jednak je 0, tj. $(a,b)=(3,4)$ je i rješenje druge jednadžbe. Dakle, $(a,b)=(3,4)$ je rješenje zadanog sustava.

Treće rješenje.

Iz druge jednadžbe možemo izraziti $a=b^2-13$ i uvrstiti u prvu jednadžbu. Dobivamo

$$(b^2-13)^3-3b=15.$$

Nakon sređivanja dobivamo

$$b^6-3\cdot13\cdot b^4+3\cdot13^2\cdot b^2-3b=13^3+15.$$

Budući da je $b$ prirodni broj, $b$ dijeli $13^3+15=2212$. Rastavimo 2212 na proste faktore:

$$2212=2^2\cdot7\cdot79.$$

Dakle, za svaki od 12 prirodnih djelitelja $b$ broja 2212 moramo provjeriti je li $(b^2-13,b)$ rješenje prve jednadžbe zadanog sustava, tj. je li $3b+15=(b^2-13)^3$.

Sljedeća tablica prikazuje vrijednosti izraza $3b+15$ pri čemu je $b$ pozitivni djelitelj broja 2212.

$b$	1	2	4	7	14	28	79	158	316	553	1106	2212
$3b+15$	18	21	27	36	57	99	252	489	963	1674	3333	6651

Iz te tablice vidimo da je izraz $3b+15$ kub nekog prirodnog broja samo ako je $b=4$. Tada je $a=b^2-13=3$. Dakle, par $(3,4)$ je rješenje druge jednadžbe. Također, $3b+15=27=a^3$, tj. par $(3,4)$ je rješenje i prve jednadžbe. Dakle, par $(a,b)=(3,4)$ je rješenje zadanog sustava.

Napomena: Kako bismo provjerili da $3b+15$ nije potpun kub za veće djelitelje $b$ broja 2212 možemo promotriti vrijednosti potpunih kubova u relevantnom intervalu:

$n$	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	$\ldots$	18	19
$n^3$	216	343	512	729	1000	1331	1728	2197	2744	3375	$\ldots$	5832	6859