4. Zadatak

Označimo $|AB|=2R$ i $\angle ABP=\varphi$.

$AB$ i tangentom">

Trokut $ABP$ je pravokutan jer je $AB$ promjer kružnice, pa vrijedi

$$|PB|=2R\cos\varphi\quad\text{i}\quad |PA|=2R\sin\varphi.$$

Uočimo da je $\angle PAN=90^\circ-\angle PAB=\angle PBA=\varphi$, pa je

$$|PN|=|PA|\sin\angle PAN=2R\sin\varphi\cdot\sin\varphi=2R\sin^2\varphi.$$

Tražimo najveću moguću vrijednost izraza

$$\begin{aligned} |PB|+|PN|&=2R\cos\varphi+2R\sin^2\varphi\\ &=2R(\cos\varphi+\sin^2\varphi)\\ &=2R(1+\cos\varphi-\cos^2\varphi). \end{aligned}$$

Ovo je kvadratna funkcija u varijabli $\cos\varphi\in[-1,1]$ i njen maksimum se postiže u tjemenu, tj. za $\cos\varphi=\frac12$. Traženi kut je $\varphi=60^\circ$.