1. Zadatak

Prvo rješenje.

Formula za sinus trostrukog kuta glasi $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$, pa je

$$\sin3x+\sin3y=3(\sin x+\sin y)-4(\sin^3x+\sin^3y).$$

Zbog jednostavnijeg zapisa, uvedimo oznake $a=\sin x$ i $b=\sin y$. Uvrštavanjem $b=\frac13-a$ dobivamo

$$\begin{aligned} 3(a+b)-4(a^3+b^3) &=1-4\left(a^2-\frac13a+\frac1{27}\right). \end{aligned}$$

tj. dovoljno je dokazati

$$1-4\left(a^2-\frac13a+\frac1{27}\right)\le\frac{26}{27}.$$

Posljednja nejednakost je ekvivalentna nejednakosti

$$36a^2-12a+1\ge0.$$

Budući da je $36a^2-12a+1=(6a-1)^2\ge0$, dokaz je gotov.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju zaključujemo

$$\sin3x+\sin3y=3(\sin x+\sin y)-4(\sin^3x+\sin^3y),$$

te uvodimo oznake $a=\sin x$ i $b=\sin y$. Budući da je $a+b=\frac13$, dovoljno je dokazati

$$4(a^3+b^3)\ge\frac1{27}.$$

Dokazat ćemo da je

$$4(a^3+b^3)-(a+b)^3\ge0.$$

Vrijedi

$$\begin{aligned} 4(a^3+b^3)-(a+b)^3 &=3(a^3+b^3)-3a^2b-3ab^2\\ &=3(a+b)(a^2-ab+b^2)-3ab(a+b)\\ &=3(a+b)(a^2-2ab+b^2). \end{aligned}$$

Prema uvjetu zadatka vrijedi $a+b=\frac13$, pa je

$$4(a^3+b^3)-(a+b)^3=3(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2\ge0.$$

Time je dokaz završen.