2. Zadatak

Prvih nekoliko članova niza su

$$a_1=2,\qquad a_2=2(2+2)=8,\qquad a_3=2(3+8)=22,\qquad a_4=2(4+22)=52,\qquad\ldots$$

Promotrimo razlike $2^{n+2}-a_n$:

$$\begin{aligned} 2^3-a_1&=8-2=6,\\ 2^4-a_2&=16-8=8,\\ 2^5-a_3&=32-22=10,\\ 2^6-a_4&=64-52=12. \end{aligned}$$

Naslućujemo da vrijedi $a_n=2^{n+2}-2(n+2)$, što ćemo dokazati metodom matematičke indukcije. Bazu indukcije smo već provjerili. Pretpostavimo da je $a_n=2^{n+2}-2(n+2)$ za neki $n\in\mathbb N$. Koristeći zadanu rekurziju dobivamo

$$\begin{aligned} a_{n+1} &=2((n+1)+a_n)\\ &=2(n+1+2^{n+2}-2(n+2))\\ &=2\cdot2^{n+2}-2(n+3)\\ &=2^{n+3}-2(n+3). \end{aligned}$$

Ovim je proveden korak indukcije, pa zaključujemo da za sve $n\in\mathbb N$ vrijedi

$$a_n=2^{n+2}-2(n+2)<2^{n+2}.$$