1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n$ svi pozitivni djelitelji broja $n$. Primijetimo da je

$$d_1\cdot d_k=d_2\cdot d_{k-1}=d_3\cdot d_{k-2}=n.$$

Iz ovoga zaključujemo da je umnožak djelitelja broja $n$ jednak $n^3$ ako i samo ako $n$ ima točno šest djelitelja. Za prosti broj $p$, djelitelji broja $p^\alpha$ su $1,p,p^2,\ldots,p^\alpha$; ima ih $\alpha+1$. Stoga brojevi oblika $p^5$, gdje je $p$ prost broj, imaju šest djelitelja. Ako je $n$ broj djeljiv s tri različita prosta broja $p,q$ i $r$, onda su $1,p,q,r,pq,qr,rp,pqr$ različiti djelitelji broja $n$, pa broj djeljiv s najmanje tri različita prosta broja ima više od šest djelitelja. Razmotrimo sada brojeve oblika $n=p^\alpha q^\beta$, gdje su $p$ i $q$ različiti prosti brojevi, a $\alpha$ i $\beta$ prirodni brojevi. Bez smanjenja općenitosti neka je $\alpha\ge\beta$. Ako je $\alpha=\beta=1$, jedini djelitelji broja $n=pq$ su $1,p,q$ i $pq$. Ako je $\alpha=2$, $\beta=1$, uz to i $p^2$ i $p^2q$ dijele $n$, pa $n=p^2q$ ima točno šest djelitelja. Ako je $\alpha\ge3$ ili $\beta\ge2$, onda $n$ ima više od šest djelitelja (uz šest navedenih, djelitelj je i sam $n$). Traženi brojevi su brojevi oblika $n=p^5$ za neki prost broj $p$ i $n=p^2q$ za različite proste brojeve $p$ i $q$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da broj $n$ zadovoljava navedeni uvjet ako i samo ako ima točno šest djelitelja. Prirodni broj $n$ možemo prikazati u obliku $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r}$, gdje su $p_1,p_2,\ldots,p_r$ različiti prosti brojevi, a $\alpha_1\ge\alpha_2\ge\ldots\ge\alpha_r$ prirodni brojevi. Poznato je da je broj djelitelja tog broja jednak $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots(\alpha_r+1)$. Dakle, dobivamo uvjet

$$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots(\alpha_r+1)=6.$$

Kako je svaki od faktora na lijevoj strani veći od $1$, postoje samo dvije mogućnosti:

$$r=1,\ \alpha_1=5 \qquad\text{ili}\qquad r=2,\ \alpha_1=2,\ \alpha_2=1.$$

Uvjet da $n$ ima točno šest djelitelja je zadovoljen ako i samo ako je $n=p^5$ za neki prost broj $p$ ili $n=p^2q$ za različite proste brojeve $p$ i $q$.