5. Zadatak

Neka je $S$ proizvoljan skup od 2001 različitih prirodnih brojeva iz skupa $\{1,2,3,\ldots,3000\}$. Promotrimo 500 skupova

$$K_j=\{6j+i\mid i=1,2,3,4,5,6\},\qquad j=0,1,2,\ldots,499.$$

Među njima postoji skup s najmanje pet elemenata iz $S$ (jer je $4\cdot500<2001$). Ako su tri od tih pet elemenata neparni brojevi, to je tražena trojka. U suprotnom, u uočenom skupu $K_j$ su tri parna i dva neparna broja iz $S$. Ta dva neparna broja su relativno prosta jer je njihova razlika $2$ ili $4$. Tri parna broja iz istog skupa $K_j$ su tri uzastopna parna broja. Samo jedan od njih je djeljiv s $3$ i najviše jedan od njih može biti djeljiv s $5$. Stoga možemo odabrati paran broj koji nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$. Taj paran broj s dva neparna broja čini traženu trojku. Naime, kako je razlika brojeva u skupu $K_j$ manja od $6$, samo jedan od njih može biti djeljiv prostim brojem $p$, $p\ge7$.