4. Zadatak

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB|=|AC|$ . Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $AB$ i $BC$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$ , različito od $A$ . Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$ . Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Rješenje

Prvo rješenje:

Točke $A$ , $M$ , $P$ i $C$ leže na istoj kružnici i vrijedi $\angle MAP=\angle PAC$ . Stoga je $|MP|=|PC|$ jer su odgovarajući obodni kutovi sukladni. Kako je točka $P$ na simetrali dužine $BC$ , vrijedi i $|BP|=|CP|$ . Zato je $|MP|=|BP|$ , a to znači da točka $P$ leži na simetrali dužine $BM$ .

Prvo službeno rješenje

Neka je $Q$ polovište dužine $MB$ , a $O$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ . Uočimo da je $PQ\perp AB$ i $OM\perp AB$ , pa je $PQ\parallel OM$ . Kako je $M$ polovište dužine $AB$ , a $Q$ polovište dužine $MB$ , vrijedi

|MQ|=\frac13|AQ|.

Zato je i

|OP|=\frac13|AP|.

Promotrimo sada trokut $AB_1C_1$ . Središte njegove opisane kružnice je točka $O$ , a nožište njegove visine iz vrha $A$ je točka $P$ . Kako su točke $A$ , $O$ i $P$ kolinearne, taj trokut je jednakokračan. Zato je dužina $AP$ ujedno i težišnica tog trokuta, pa je zbog $|OP|=\frac13|AP|$ točka $O$ težište tog trokuta. Konačno, kako se težište podudara sa središtem opisane kružnice, trokut $AB_1C_1$ je jednakostraničan.

Drugo rješenje:

Neka je $AB'C'$ jednakostranični trokut upisan u kružnicu opisanu oko trokuta $ABC$ i neka je $P'$ polovište dužine $B'C'$ . Budući da je $BC\parallel B'C'$ , dovoljno je dokazati da se točke $P$ i $P'$ podudaraju.

Drugo službeno rješenje

Neka je $R$ polumjer opisane kružnice trokuta $ABC$ . Tada je duljina visine upisanog jednakostraničnog trokuta

|AP'|=\frac32R.

Označimo $\varphi=\angle BAN$ . Tada je $|AB|=2R\cos\varphi$ i $|AM|=R\cos\varphi$ . Koristeći poučak o kosinusu u trokutu $ABP'$ dobivamo

\begin{aligned} |BP'|^2 &=|AP'|^2+|AB|^2-2|AP'||AB|\cos\varphi\\ &=\left(\frac32R\right)^2+(2R\cos\varphi)^2-2\cdot\frac32R\cdot2R\cos\varphi\cdot\cos\varphi\\ &=\frac94R^2-2R^2\cos^2\varphi. \end{aligned}

Slično, koristeći poučak o kosinusu u trokutu $AMP'$ dobivamo

\begin{aligned} |MP'|^2 &=|AP'|^2+|AM|^2-2|AP'||AM|\cos\varphi\\ &=\left(\frac32R\right)^2+(R\cos\varphi)^2-2\cdot\frac32R\cdot R\cos\varphi\cdot\cos\varphi\\ &=\frac94R^2-2R^2\cos^2\varphi. \end{aligned}

Dakle, $|CP'|=|BP'|=|MP'|$ , pa su točke $M$ , $B$ i $C$ na kružnici sa središtem $P'$ . Zato je

\angle MCP'=\angle P'MC=\frac12(180^\circ-\angle CP'M)=90^\circ-\angle CBM=\angle MAP'.

Konačno, iz $\angle MCP'=\angle MAP'$ slijedi da je $MP'$ tetiva kružnice opisane trokutu $AMC$ , a kako je $P'$ i na simetrali dužine $BC$ , točka $P'$ je upravo točka $P$ .