1. Zadatak

Koristeći identitet

$$\cos t=4\cos^3\frac{t}{3}-3\cos\frac{t}{3}$$

za $t=x$, $t=x+2\pi$ i $t=x+4\pi$ te zbrajanjem tih relacija, zbog periodičnosti kosinusa, dobivamo

$$\begin{aligned} 3\cos x={}&4\left(\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3}\right)\\ &-3\left(\cos\frac{x}{3}+\cos\frac{x+2\pi}{3}+\cos\frac{x+4\pi}{3}\right). \end{aligned}$$

Korištenjem transformacijskih formula na izraz u zadnjoj zagradi slijedi

$$\begin{aligned} \cos\frac{x}{3}+\cos\frac{x+4\pi}{3}+\cos\frac{x+2\pi}{3} &=2\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{x+2\pi}{3}+\cos\frac{x+2\pi}{3}\\ &=\left(2\cos\frac{2\pi}{3}+1\right)\cos\frac{x+2\pi}{3}=0. \end{aligned}$$

Zato iz prethodne jednakosti slijedi

$$\cos^3\frac{x}{3}+\cos^3\frac{x+2\pi}{3}+\cos^3\frac{x+4\pi}{3}=\frac34\cos x,$$

što je trebalo dokazati.