4. Zadatak

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AC$ , a točka $C'$ je osnosimetrična slika točke $C$ s obzirom na pravac $AB$ . Kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku se u točkama $A$ i $P$ . Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ABC$ leži na pravcu $AP$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Neka je $\alpha=\angle BAC$ , $\beta=\angle CBA$ i $\gamma=\angle ACB$ . Točka $P$ nalazi se na kružnici opisanoj trokutu $AC'C$ , pa vrijedi $\angle APC=\angle AC'C$ jer su to obodni kutovi nad istom tetivom $AC$ . Zbog osne simetrije je $\angle AC'C=90^\circ-\angle BAC'=90^\circ-\alpha$ . Analogno, promatrajući kružnicu opisanu trokutu $ABB'$ , zaključujemo

\angle APB=\angle AB'B=90^\circ-\alpha.

Stoga vrijedi $\angle CPB=\angle APC+\angle APB=180^\circ-2\alpha$ . Budući da je $AC'PC$ tetivni četverokut, vrijedi

\angle CPC'=180^\circ-\angle CAB-\angle BAC'=180^\circ-2\alpha.

Dakle, $\angle CPB=\angle CPC'$ , pa su točke $P$ , $B$ i $C'$ kolinearne.

Skica prvog službenog rješenja

Neka je točka $A'$ dijametralno suprotna točki $A$ na kružnici opisanoj trokutu $AC'C$ . Budući da je $AB$ simetrala dužine $CC'$ , točka $A'$ leži na pravcu $AB$ . Zato je $\angle A'BP=\angle ABC'=\beta$ . Prema Talesovom poučku je $\angle APA'=90^\circ$ , pa je

\angle BPA'=90^\circ-\angle APB=\alpha.

Dakle, $\angle AA'P=180^\circ-\alpha-\beta=\gamma$ i $\angle A'AP=90^\circ-\angle AA'P=90^\circ-\gamma$ , tj. $\angle BAP=90^\circ-\gamma$ . S druge strane je $\angle BOA=2\gamma$ i $\angle BAO=90^\circ-\gamma$ , pa zaključujemo da su točke $A$ , $O$ i $P$ na jednom pravcu. Time je dokaz završen.

Drugo rješenje.

Neka je $O_1$ presjek pravca $AC$ i simetrale stranice $AB$ . Uočimo da je zbog osne simetrije $|BO_1|=|B'O_1|$ , tj. $O_1$ je središte opisane kružnice trokuta $ABB'$ . Analogno, definiramo točku $O_2$ kao presjek pravca $AB$ i simetrale stranice $AC$ , te vidimo da je ona središte opisane kružnice trokuta $ACC'$ .

Skica drugog službenog rješenja

Budući da je $AP$ zajednička tetiva dviju kružnica, pravac $AP$ okomit je na pravac $O_1O_2$ . Simetrale stranica $AB$ i $AC$ sijeku se u $O$ , tj. $OO_1$ je okomito na $AB$ i $OO_2$ je okomito na $AC$ . Dakle, $O$ je ortocentar trokuta $AO_2O_1$ . Zaključujemo da je pravac $AO$ okomit na pravac $O_1O_2$ . Dokazali smo da su pravci $AO$ i $AP$ okomiti na $O_1O_2$ , iz čega zaključujemo da su točke $A$ , $O$ i $P$ kolinearne.