2. Zadatak

Za proizvoljne $a$ i $b$ različite parnosti definiramo

$$c=\frac{1+a^2+b^2-2a-2b-2ab}{4}.$$

Uočimo da je $c$ cijeli broj jer su $a$ i $b$ različite parnosti (npr. ako je $a$ paran i $b$ neparan, onda su $1-2b+b^2=(1-b)^2$ i $a^2-2a-2ab$ očito djeljivi s $4$).

Tada je

$$a+c=\frac{1+a^2+b^2+2a-2b-2ab}{4}=\left(\frac{1+a-b}{2}\right)^2,$$ $$b+c=\frac{1+a^2+b^2-2a+2b-2ab}{4}=\left(\frac{1-a+b}{2}\right)^2,$$ $$ab+c=\frac{1+a^2+b^2-2a-2b+2ab}{4}=\left(\frac{1-a-b}{2}\right)^2.$$

Budući da su $a$ i $b$ različite parnosti, brojevi $1+a-b$, $1-a+b$ i $1-a-b$ su parni, pa slijedi tvrdnja zadatka.

Napomena. Broj $c$ naveden u rješenju nije jedinstven s traženim svojstvom. Na primjer, za $a=3$ i $b=120$, uvjete zadatka zadovoljavaju i $c=1$ i $c=3361$.

Napomena. Pronalaženje formule koja izražava $c$ pomoću $a$ i $b$ je sastavni dio rješavanja zadatka, iako taj postupak nije bitan za zapisivanje potpunog rješenja. Budući da formula nije očita, želimo pokazati kako do nje možemo doći deduktivno.

Jedna ideja je tražiti $c$ takav da $a+c$ i $b+c$ budu kvadrati uzastopnih cijelih brojeva. Tada možemo pisati $a+c=n^2$ i $b+c=(n+1)^2$ za neki cijeli broj $n$. U tom slučaju je $b-a=2n+1$, tj.

$$n=\frac{b-a-1}{2},\qquad c=\left(\frac{b-a-1}{2}\right)^2-a =\frac{1+a^2+b^2-2a-2b-2ab}{4}.$$

Pokažimo još jedan način. Pretpostavimo da su $c$, $k$, $n$ i $m$ cijeli brojevi takvi da vrijedi

$$k^2=c+ab,\qquad n^2=c+a\quad\text{i}\quad m^2=c+b.$$

Tada vrijedi

$$k^2-n^2=(k-n)(k+n)=a(b-1)$$

i

$$k^2-m^2=(k-m)(k+m)=b(a-1).$$

Tražimo jednu moguću vezu između brojeva $k,n,a$ i $b$ koja zadovoljava ove dvije jednakosti i za koju će vrijediti i uvjeti zadatka. Na primjer, prva jednakost bit će zadovoljena ako stavimo $a=k-n$, $b-1=k+n$, a druga ako stavimo $b=k+m$ i $a-1=k-m$. U tom slučaju je $m=n+1$ i $n=b-1-k=b-1-a-n$, odnosno

$$n=\frac{b-a-1}{2}.$$