4. Zadatak
Ploču na slici treba prekriti pločicama dimenzija . Svaka pločica prekriva točno dva polja. Pločice se smiju rotirati i ne smiju se preklapati. Dokaži da je broj načina na koje se to može napraviti jednak zbroju kvadrata dvaju prirodnih brojeva.
Neka označava broj načina na koje ploču možemo popločati pločicama dimenzija , a broj načina na koje ploču kojoj su uklonjena dva središnja polja na jednom rubu možemo popločati pločicama dimenzija . Dio ploče sastavljen od četiri polja između dvije ploče nazivamo most. Ovisno o načinu na koji je popločan most razlikujemo pet slučajeva.
Prvi slučaj: Most je popločan s dvije horizontalne domine. Preostala polja možemo popločati na načina, jer svaki od preostalih dijelova ploče možemo popločati neovisno od drugog.
Drugi slučaj: Most je popločan s dvije vertikalne domine. Preostala polja možemo popločati na načina, jer svaki od preostalih dijelova ploče možemo popločati neovisno od drugog.
Treći slučaj: Desna strana mosta je okupirana vertikalnom dominom, a lijeva strana s dvije horizontalne domine koje popločavaju i dva centralna polja desne stranice lijevog dijela ploče. Preostala polja možemo popločati na načina.
Četvrti slučaj: Lijeva strana mosta je okupirana vertikalnom dominom, a desna strana s dvije horizontalne domine koje popločavaju i dva centralna polja lijeve stranice desnog dijela ploče. Preostala polja možemo popločati na načina.
Peti slučaj: Most je prekriven s četiri horizontalne domine, na način preostaju dva neovisna komada kojima su uklonjena dva centralna polja na jednom rubu. Preostala polja možemo popločati na načina.
Preostale dvije mogućnosti prekrivanja mosta ne dozvoljavaju prekrivanje ostatka ploče, budući da svaka od preostale dvije komponente sadrži neparno mnogo polja ploče.
Zbrajanjem dobijemo da je ukupan broj načina na koji se cijela ploče može popločati jednak