3. Zadatak

Uočimo da imamo tri mogućnosti za pravac $b$: on može sjeći stranicu $\overline{CD}$, stranicu $\overline{AD}$, ili može sjeći kvadrat samo u točki $B$.

Ukoliko $b$ siječe stranicu $\overline{CD}$, tada se $b$ nalazi između pravaca $c$ i $d$, pravac $c$ siječe kvadrat samo u točki $C$, a $d$ siječe stranicu $\overline{AB}$.

Ukoliko $b$ siječe stranicu $\overline{DA}$, tada bi se $d$ nalazio između $b$ i $c$. U tom bi slučaju udaljenost između $b$ i $d$ bila manja od one između $b$ i $d$, pa vidimo da ovaj slučaj nije moguć.

Ukoliko $b$ siječe kvadrat samo u točki $B$, tada se $c$ nalazi između $b$ i $d$, te $c$ siječe stranicu $\overline{AD}$ zbog uvjeta udaljenosti.

Dakle, postoje dva slučaja koje je potrebno analizirati.

Promotrimo prvo slučaj kada pravac $b$ siječe kvadrat samo u točki $B$. Budući da je pravac $c$ između pravaca $b$ i $d$, udaljenost pravaca $b$ i $c$ veća je od udaljenosti pravaca $c$ i $d$, stoga pravac $c$ siječe stranicu $\overline{AD}$ kvadrata.

Udaljenost između pravaca $c$ i $d$ je tada $7-5=2$.

Neka su $P$ i $Q$ nožišta okomica iz točaka $D$ i $B$ na pravac $c$.

Kako su kutovi $\angle QCB$ i $\angle PDC$ sukladni (kutovi s okomitim kracima) i $|BC|=|DC|$ zaključujemo da su pravokutni trokuti $BCQ$ i $CDP$ sukladni.

Stoga je $|PC|=|QB|=5$. Po Pitagorinom poučku, konačno imamo:

$$|CD|=\sqrt{|DP|^2+|PC|^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}.$$

Dakle, površina u ovom slučaju iznosi $29$.

Promotrimo sada drugi slučaj, kada se pravac $b$ nalazi između $c$ i $d$.

Neka su $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $C$ na pravce $d$ i $b$. Slično kao i u prethodnom slučaju pokazuje se da su pravokutni trokuti $BCQ$ i $CDP$ sukladni. Stoga je $|DP|=|CQ|=5$ a $|CP|=5+7=12$. Po pitagorinom poučku, konačno imamo

$$|CD|=\sqrt{|DP|^2+|PC|^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.$$

Dakle, površina u ovom slučaju iznosi $169$.