5. Zadatak

Pokažimo da je nužno $a\leq2$. Doista, za $a\geq3$, znamo da $8$ dijeli $2^a$. S druge strane $2b^2$ daje ostatak $0$ ili $2$, a $3^c$ ostatak $1$ ili $3$ pri dijeljenju s $8$. Stoga vidimo da lijeva strana jednakosti daje ostatak $0$ ili $2$ pri dijeljenju s $8$, a desna $4$ ili $6$, čime dolazimo do kontradikcije.

Promotrimo sada slučaj kada je $a=1$.

Jednadžba postaje

$$2b^2=3^c+65.$$

Promotrimo ostatke koje obje strane jednadžbe daju pri dijeljenju s $8$. Ako je $b$ neparan, onda $2b^2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $8$, a ako je $b$ paran, onda $2b^2$ daje ostatak $0$ pri dijeljenju s $8$.

Ako je $c$ neparan, onda $3^c+65$ daje ostatak $4$ pri dijeljenju s $8$, a ako je $c$ paran, onda $3^c+65$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $8$. Slijedi da je $c$ nužno paran.

Promotrimo sada ostatke koje obje strane jednadžbe daju pri dijeljenju s $5$. Kvadrati daju ostatke $0$, $1$, $4$ pri dijeljenju s $5$, pa $2b^2$ daje ostatak $0$, $2$ ili $3$. S druge strane, $3^c$ daje ostatak $1$ ili $4$ pri dijeljenju s $5$ za paran $c$, pa $3^c+65$ također daje ostatak $1$ ili $4$. Zaključujemo da je nemoguće da obje strane daju isti ostatak pri dijeljenju s $5$ i pri dijeljenju s $8$, pa u ovom slučaju nema rješenja.

Promotrimo sada slučaj kada je $a=2$.Jednadžba postaje

$$2b^2=3^c+63.$$

Desna strana je djeljiva s $3$, pa je $b=3k$ za neki prirodan broj $k$. Jednadžba postaje

$$2k^2=3^{c-2}+7.$$

Slijedi da je $c\geq2$. Za $c=2$ dobivamo rješenje $k=2$, odnosno $b=6$.

Za $c>2$ desna strana jednadžbe daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$, a lijeva strana daje ostatak $0$ ili $2$, pa u tom slučaju nema rješenja.

Zaključujemo da je jedino rješenje

$$(a,b,c)=(2,6,2).$$