2. Zadatak

Prvo rješenje

Kvardiranjem obje strane dobivamo ekvivalentnu nejednakost

$$c(a-c)+2\sqrt{c^2(a-c)(b-c)}+c(b-c)\leq ab.$$

Sada raspisivanjem

$$ab=(c+(a-c))(c+(b-c)) =c^2+c(b-c)+c(a-c)+(a-c)(b-c)$$

dobijemo

$$\begin{aligned} c(a-c)+c(b-c)+2\sqrt{c^2(a-c)(b-c)} \leq{}&c^2+c(b-c)\\ &+c(a-c)+(a-c)(b-c), \end{aligned}$$

odnosno

$$2\sqrt{c^2(a-c)(b-c)}\leq c^2+(a-c)(b-c).$$

Primjenom A–G nejednakosti na $c^2$ i $(a-c)(b-c)$ vidimo da zadnja nejednakost vrijedi.

Drugo rješenje

Uvedimo oznake $x:=a-c$ i $y:=b-c$.

Sada nejednakost postaje

$$\sqrt{cx}+\sqrt{cy}\leq\sqrt{(c+x)(c+y)}.$$

Kvadriranjem dobivamo ekvivalentnu nejednakost

$$cx+cy+2\sqrt{c^2xy}\leq c^2+cx+cy+xy,$$

odnosno

$$2\sqrt{c^2xy}\leq c^2+xy.$$

Primjenom A–G nejednakosti na nenegativne brojeve $c^2$ i $xy$ vidimo da zadnja nejednakost vrijedi.