4. Zadatak

Neka je $P$ drugo sjecište kružnice $(BDE)$ sa $AB$ i $Q$ drugo sjecište kružnice $(CDE)$ sa $AC$. $DE$ je radikalna os kružnica $(BDE)$ i $(CDE)$, a $A$ leži na njoj pa imamo

$$|AP|\cdot|AB|=|AD|\cdot|AE|=|AQ|\cdot|AC|.$$

Koristeći obrat teorema o potenciji točke, slijedi da je četverokut $BCQP$ tetivan.

Budući da je $BFDP$ tetivni četverokut:

$$\angle PBF=180^\circ-\angle FDP=\angle PDY.$$

Dakle, $\angle PDY=\angle PBF=\angle PQA=180^\circ-\angle PQY$ pa je $PQYD$ također tetivni četverokut. Analogno se pokaže i da je $PQXD$ tetivni četverokut pa slijedi

$$\angle AXY=\angle PDY=\angle ABC,$$

iz čega slijedi da su $XY$ i $BC$ paralelni.