1. Zadatak

Vrijedi

$$\begin{aligned} a^5+a+1 &=(a^5-a^4)+(a^4-a^3)+(a^3-a^2)+a^2+a+1\\ &=(a^2+a+1)(a^3-a^2+1). \end{aligned}$$

Ako je $a^2+a+1=0$, onda je

$$a^2(a-1)=-(a+1)(a-1)=1-a^2=a+2.$$

Kako je tada $a=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, u tom je slučaju

$$a^2(a-1)=\frac32\pm\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ako je $a^3-a^2+1=0$, onda je $a^2(a-1)=a^3-a^2=-1$.

Promatrani izraz može poprimiti vrijednosti

$$-1,\qquad \frac32+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad \frac32-\frac{\sqrt3}{2}i.$$