3. Zadatak

Rastavimo desnu stranu dane jednadžbe na faktore

$$y^2=x(x+1)(x+2).$$

Kako je $x\in\mathbb Z$, dobiveni faktori su uzastopni cijeli brojevi. Pretpostavimo najprije da su svi faktori, $x$, $x+1$ i $x+2$ različiti od nule. Kako je na lijevoj strani jednakosti pozitivan broj, ova tri faktora moraju biti pozitivna. Tada je $x+1$ relativno prost s $x$ i s $x+2$ jer su susjedni pa onda i s produktom $x(x+2)$. Produkt dva relativno prosta prirodna broja je potpuni kvadrat ako i samo ako su oba broja potpuni kvadrati. Posebno, to znači da je

$$x(x+2)=x^2+2x=(x+1)^2-1$$

potpun kvadrat. Dakle, $(x+1)^2-1$ i $(x+1)^2$ su dva uzastopna cijela broja koji su oba potpuni kvadrati, a to je moguće jedino ako su to nula i jedan. Dakle,

$$(x+1)^2=1$$

pa je $x=-2$ ili $x=0$. Ali tada su $x+2=0$ ili $x=0$, što je kontradikcija s pretpostavkom da su svi faktori različiti od nule.

Ako je jedan od faktora na desnoj strani jednak nuli, onda je $y=0$ i dobivamo rješenja

$$(x,y)\in\{(-2,0),(-1,0),(0,0)\}.$$