4. Zadatak

Kako je $ABCD$ trapez, trokuti $ABO$ i $CDO$ su slični i vrijedi

$$\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|OC|}{|OD|}.$$

Euklidov poučak povlači $|OM|^2=|OB|\cdot|OD|$, $|ON|^2=|OA|\cdot|OC|$, odakle dobivamo

$$\frac{|OM|^2}{|ON|^2} =\frac{|OB|\cdot|OD|}{|OA|\cdot|OC|} =\frac{|OD|^2}{|OC|^2}.$$

Sada iz $|OM|:|ON|=|OD|:|OC|$ i $\angle MON=\angle COD=90^\circ$ zaključujemo da su trokuti $MON$ i $DOC$ slični i vrijedi $\angle MNO=\angle DCO$. To zapravo znači da je $\angle MND=\angle DCM$, odakle zaključujemo da su točke $C,D,M,N$ konciklične.