2. Zadatak

Uočimo najprije da je jedan od brojeva $p_1,p_2,p_3$ jednak 3. Neka je $p_1=3$. (poredak faktora nije bitan)

Tada vrijedi $p_2p_3=p_2+p_3+3$.

Ova jednadžba se može riješiti na razne načine. Ovdje ćemo navesti samo dva od njih.

Prvi način: Dobivena jednakost ekvivalentna je s $(p_2-1)(p_3-1)=4$, a jedini način da broj 4 prikažemo kao umnožak dvaju različitih prirodnih brojeva je $4=4\cdot1$. Zato je $p_2=2$ i $p_3=5$.

Drugi način: Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $p_2<p_3$.

Pretpostavimo još da je $p_2>2$. Tada je $p_3>3$ i vrijedi $$p_2p_3=p_2+p_3+3<3p_3\le p_2p_3.$$

Kontradikcija. Zaključujemo da mora biti $p_2=2$ i sada se lako dobije $p_3=5$.

Nastavak.

Iz uvjeta da broj $p_1+p_2+p_3+p_4$ ima sve znamenke jednake, zaključujemo da je taj broj iz skupa $$\{11,22,33,44,55,66,77,88,99,111,222\}.$$ Prvi sljedeći broj bi bio 333, no zbog $p_1+p_2+p_3=10$ i $p_4<250$ to ne dolazi u obzir.

Kako je $p_4$ neparni prosti broj, iz ovog skupa možemo odmah izbaciti parne brojeve, pa je $p_4+10\in\{11,33,55,77,99,111\}$.

Direktnom provjerom, dobijemo $p_4\in\{23,67,89,101\}$.

Konačno, traženi brojevi su $$n=p_1p_2p_3p_4=2\cdot3\cdot5\cdot p_4=30p_4\in\{690,2010,2670,3030\}.$$

Napomena. Prvi dio zadatka (određivanje brojeva $p_1,p_2,p_3$) može se riješiti i ovako:

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti $p_1<p_2<p_3$.

Tada je $3(p_1+p_2+p_3)<9p_3$, pa slijedi $p_1p_2p_3<9p_3$, odnosno $p_1p_2<9$.

Kako su $p_1$ i $p_2$ prosti i različiti, imamo samo jednu mogućnost: $p_1=2$, $p_2=3$, a onda je $p_3=5$.