4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, da postoji $n\in\mathbb N$, $n\ge2$ takav da je $a=n\cdot b$.

Primijetimo da svaki broj pri dijeljenju sa 9 daje isti ostatak kao i zbroj njegovih znamenki.

Dakle, brojevi $a$ i $b$ daju pri dijeljenju s 9 isti ostatak 1 (suma njihovih znamenaka je $1+2+\cdots+7=28=3\cdot9+1$).

Međutim, ako $b$ daje pri dijeljenju s 9 ostatak 1, tada $a=n\cdot b$ daje pri dijeljenju s 9 isti ostatak kao i $n$.

To znači da bi $n$ trebao dati ostatak 1 pri dijeljenju s 9.

No, kako mora biti $1<n<10$, takvi $a$ i $b$ ne postoje.

Drugo rješenje.

Neka je $a=\overline{a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1}$ i $b=\overline{b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_1}$.

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji $n\in\mathbb N$, $n\ge2$ takav da je $a=n\cdot b$.

Očito vrijedi $a\le7654321$, $b\ge1234567$, pa je $n\le\frac{7654321}{1234567}$, tj. $n\le6$.

Razmotrimo sve slučajeve:

$n=2$.

Neka je $k$ takav da je $b_k=4$. Tada bi vrijedilo $a_k=8$ (ako je $k=1$ ili $b_{k-1}<5$) ili $a_k=9$ (za $b_{k-1}\ge5$, jer se tada ”prenosi” 1 iz množenja prethodne znamenke), što je nemoguće, budući da je $a_k\in\{1,2,\ldots,7\}$.

$n=3$.

Prvi način. Broj $a$ nije djeljiv sa 3, jer mu zbroj znamenaka $1+2+3+4+5+6+7=28$ nije djeljiv s 3. Stoga $n$ ne može biti 3.

Drugi način. U ovom slučaju iz prethodnog množenja prenosimo 0, 1 ili 2 ($3\cdot7=21$). Neka je $k$ takav da je $b_k=6$. Tada bi, u ovisnosti o $b_{k+1}$ (tj. ovisno o tome koliko prenosimo iz prethodnog množenja), $a_k$ bilo 8, 9 ili 0, što je nemoguće.

$n=4$.

Neka je $k$ takav da je $b_k=7$. Iz prethodnog množenja prenosi se 0, 1 ili 2 (najveći rezultat je $6\cdot4=24$). Tada bi, u ovisnosti o $b_{k+1}$, $a_k$ bilo 8, 9 ili 0, što je nemoguće.

(Netočno bi bilo tvrditi da se pri množenju broja sa znamenkama od 1 do 7 brojem 4 uvijek prenosi najviše 2. Npr. pri množenju $76\cdot4$, imamo najprije $6\cdot4=24$, pišemo 4, prenosi se 2; zatim računamo $7\cdot4+2=30$, pišemo 0 i prenosi se 3.)

$n=5$.

Prvi način. U ovom slučaju, rezultat množenja bilo koje znamenke brojem 5 završava znamenkom 0 ili 5, a prenosi se najviše 3, jer je $7\cdot5=35$, a čak i uz raniji prijenos $35+3<40$. Zbog toga nikako nije moguće dobiti znamenku 4, već samo $0,0+1,0+2,0+3$ i $5,5+1,5+2,5+3$.

Drugi način. Očito mora vrijediti $b_7=1$. Neka je $k$ takav da je $b_k=7$. U tom množenju se prenosi 3, pa je sljedeći rezultat $a_{k+1}=3$ ili $a_{k+1}=8$, ovisno da li je $b_{k+1}$ paran ili neparan. Znamenke 8 nema, pa mora biti $b_{k+1}$ paran i $a_{k+1}=3$. Neka je $l$ takav da je $b_l=6$. I ovdje se prenosi 3, pa istim zaključivanjem dobijemo $a_{l+1}=3$, što je nemoguće (samo je jedna znamenka 3).

$n=6$.

Prvi način. Broj $a$ nije djeljiv s 3 (pa onda ni sa 6), jer mu je zbroj znamenaka 28. Stoga njegov djelitelj $n$ ne može biti jednak 6.

Drugi način. Kako je $b\ge1234567$, vrijedi $a\ge6\cdot1234567=7407402$. Najmanji broj sa znamenkama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 koji to zadovoljava je broj 7412356. Dakle, $a\ge7412356$. Zato je $b\ge7412356/6>1235392$. Najmanji broj sa znamenkama 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 koji to zadovoljava je broj 1235467. Dakle, $b\ge1235467$. Nastavljamo na isti način. Oba broja će se povećavati, malo po malo, dok ne dobijemo da bi broj $a$ trebao biti veći od 7654321. Tada možemo zaključiti da takvi brojevi ne postoje. Potrebno je 28 puta ponoviti opisani postupak!

Dakle, ne postoji takav $n$.

Napomena. Svaki od ovih slučajeva može se riješiti na razne načine.