3. Zadatak

Neka je $ABCD$ pravokutnik i $k$ kružnica sa središtem u središtu pravokutnika. Kružnica $k$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točkama $K$ i $L$ , a stranicu $\overline{CD}$ u točkama $M$ i $N$ , i pritom je $LN\perp AC$ . Ako polovište dužine $\overline{AN}$ leži na kružnici $k$ , koliki je omjer duljina stranica danog pravokutnika?

Rješenje

Pravokutnik ABCD i kružnica sa središtem S

Neka je $S$ središte kružnice $k$ i pravokutnika $ABCD$ , te neka je $P$ polovište dužine $\overline{AN}$ . Neka je $r$ polumjer kružnice $k$ .

Jasno je da je $\overline{NL}$ promjer kružnice $k$ . (Vidi napomenu.)

Kako je $LN\perp AC$ , trokut $ASN$ je pravokutan.

Dužina $\overline{PS}$ je težišnica tog trokuta pa vrijedi $|AP|=|PN|=|PS|$ .

Iz $|PN|=|PS|=r=|NS|$ slijedi da je trokut $NPS$ jednakostraničan.

Dužina $\overline{PS}$ je srednjica trokuta $ALN$ (jer je $|AP|=|NP|$ i $|LS|=|SN|$ ) pa je $|AL|=2|PS|=2r$ i trokut $ANL$ je također jednakostraničan.

Trokut $ADN$ je pravokutan, njegova hipotenuza $\overline{AN}$ je duljine $2r$ i $\angle NAD=90^\circ-\angle LAN=30^\circ$ .

Stoga je $|DN|=\frac12|AN|=r$ i $|DA|=|DN|\sqrt3=r\sqrt3$ .

Četverokut $ALCN$ je romb (dijagonale su mu okomite i raspolavljaju se), pa je $|NC|=|AN|=2r$ .

Prema tome, $|DC|=|DN|+|NC|=r+2r=3r$ .

Traženi omjer je $|AD|:|CD|=\frac{r\sqrt3}{3r}=\frac1{\sqrt3}$ . (Odnosno $|AB|:|AD|=\sqrt3$ .)

Napomena. Dokaz da je $\overline{NL}$ promjer kružnice $k$ :

Neka su $G$ i $H$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ . Trokuti $SGL$ i $SHN$ su sukladni ( $\angle SGL=\angle SHN=90^\circ$ , $|SL|=|SN|=r$ , $|SG|=|SH|=\frac12|BC|$ ), pa je $\angle GSL=\angle HSN$ . Zaključujemo da $NL$ prolazi kroz $S$ .