3. Zadatak

Prvo rješenje.

Razmatramo dva slučaja:

1. slučaj $p\mid n$

Tada je $n=pk$, $k\in\mathbb Z$ i vrijedi

$$\sqrt{n^2+pn}=\sqrt{p^2k^2+p^2k}=p\sqrt{k^2+k}.$$

No, $k^2+k=k(k+1)$ je potpun kvadrat samo ako je $k^2+k=0$, tj. za $k=0$ i $k=-1$. Odgovarajuća rješenja su $n=0$ i $n=-p$.

2. slučaj $p\nmid n$

Tada je $M(n,n+p)=1$. Da bi izraz pod korijenom $n^2+pn=n(n+p)$ bio potpun kvadrat, mora biti $n=a^2$, $n+p=b^2$, ili $n=-b^2$, $n+p=-a^2$, za neke $a,b\in\mathbb N_0$.

U oba slučaja je

$$p=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

pa dobivamo (jer je $a+b>0$)

$$\left\{\begin{aligned} b-a&=1\\ b+a&=p \end{aligned}\right. \qquad\text{ili}\qquad \left\{\begin{aligned} b-a&=p\\ b+a&=1. \end{aligned}\right.$$

Rješenje prvog sustava je $a=\frac{p-1}{2}$, $b=\frac{p+1}{2}$, a drugog $a=\frac{1-p}{2}$, $b=\frac{p+1}{2}$.

Ako je $n=a^2$ dobivamo

$$n=\left(\frac{p-1}{2}\right)^2,$$

a ako je $n=-b^2$ onda je

$$n=-\left(\frac{p+1}{2}\right)^2.$$

Ovo su cijeli brojevi pa onda i rješenja zadatka samo za $p>2$.

Drugo rješenje.

Neka je $\sqrt{n^2+pn}=m$, $m\in\mathbb N_0$. Tada dobivamo $n^2+pn-m^2=0$. Rješenja te kvadratne jednadžbe su

$$n=\frac12\left(-p\pm\sqrt{p^2+4m^2}\right).$$

Budući da se traže cjelobrojna rješenja, izraz pod korijenom mora biti potpun kvadrat tj. $p^2+4m^2=w^2$, $w\in\mathbb N_0$.

Iz $p^2=(w-2m)(w+2m)$, kako je $w+2m\ge0$ i $w+2m\ge w-2m$, dobivamo sljedeće slučajeve:

$$\left\{\begin{aligned} w-2m&=1\\ w+2m&=p^2 \end{aligned}\right. \qquad\text{ili}\qquad \left\{\begin{aligned} w-2m&=p\\ w+2m&=p. \end{aligned}\right.$$

U prvom slučaju dobivamo $w=\frac{p^2+1}{2}$, $m=\frac{p^2-1}{4}$, pa je

$$n=\frac12\left(-p\pm\sqrt{p^2+4\left(\frac{p^2-1}{4}\right)^2}\right)$$

odnosno

$$n_1=\left(\frac{p-1}{2}\right)^2,\qquad n_2=-\left(\frac{p+1}{2}\right)^2.$$

Ovo su cijeli brojevi samo kada je $p$ neparan, tj. $p>2$.

U drugom slučaju je $w=p$, $m=0$, pa je $n=\frac12(-p\pm p)$, odnosno $n_3=0$ i $n_4=-p$.