1. Zadatak

Pretpostavimo da je za neki $n\ge2$ promatrana funkcija periodična s periodom $T$ ($T>0$), tj. da vrijedi $f(x+T)=f(x)$ za sve $x\in\mathbb R$. Tada je $f(T)=f(0)=n$.

No, da bi bilo

$$f(T)=\cos(T\sqrt1)+\cos(T\sqrt2)+\ldots+\cos(T\sqrt n)=n$$

mora biti

$$\cos(T\sqrt1)=\cos(T\sqrt2)=\ldots=\cos(T\sqrt n)=1.$$

Odatle slijedi $T=2k\pi$ i $T\sqrt2=2l\pi$, pri čemu su $k,l\in\mathbb N$. Stoga bi vrijedilo $\sqrt2=\frac lk\in\mathbb Q$, a to nije istina.

Dakle, ne postoji $n\ge2$ takav da je funkcija $f$ periodična.