4. Zadatak

Pretpostavimo suprotno, da su sve stranice različitih duljina. Neka su njihove duljine $a$, $b$, $c$, $d$. Možemo pretpostaviti da je $a<b<c<d$ (nismo odredili poredak stranica).

Uočimo da je svaka od duljina djelitelj sume $S=a+b+c+d$ svih četiriju duljina.

Kako se radi o duljinama stranica četverokuta, mora biti $a+b+c>d$, pa je $S>2d$, odnosno $\frac Sd>2$. Budući da je $d$ djelitelj od $S$, vrijedi $\frac Sd\ge3$.

Sada imamo $c<d\le\frac S3$, a kako je $c$ djelitelj od $S$, slijedi $c\le\frac S4$.

Analogno dobivamo $b\le\frac S5$ i $a\le\frac S6$.

Stoga je

$$S=a+b+c+d\le\frac S6+\frac S5+\frac S4+\frac S3 =S\left(\frac16+\frac15+\frac14+\frac13\right) =\frac{57}{60}S<S.$$

Ovo je nemoguće, pa je pretpostavka da su sve stranice različitih duljina pogrešna.