7. Zadatak

Prvo rješenje.

Najprije ćemo pokazati da se rezultat ne mijenja ako dvije karte u Ivičinom setu zamijene mjesta. Recimo da se zamijene dvije karte međusobno „udaljene” za $k$ mjesta (između kojih je $k-1$ karata). Neka je na prvoj od njih simbol A, a na drugoj simbol B. Tada se broj mjesta između dviju karata A (iz Ivičinog i Martinog seta) smanjio za $k$, ali se broj karata između dviju karata B povećao za $k$. Time se ukupni rezultat nije promijenio. Analogno se pokazuje da se rezultat ne mijenja ako dvije karte u Martinom setu zamijene mjesta. To zapravo znači da rezultat ne ovisi o poretku karata, jer se svaki poredak karata može dobiti uzastopnim zamjenama dviju karata. Stoga rezultat možemo izračunati tako da pretpostavimo neki raspored karata. Odabrat ćemo najjednostavniji mogući: poredak karata u Ivičinom setu karata isti je kao poredak karata u Martinom setu. U tom slučaju između svake dvije identične karte nalazi se točno 49 karata, pa je traženi rezultat

$$49\cdot50=2450.$$

Drugo rješenje.

Neka se svaki set sastoji od karata $S_1,\ldots,S_{50}$. Neka su $a_i,b_i$ pozicije karte $S_i$ u Ivičinom odnosno Martinom setu karata nakon miješanja

$$1\le a_i,b_i\le50,\qquad \forall i\in\{1,\ldots,50\}.$$

Kada se karte stave jedne na druge, između dviju karata $S_i$ bit će $(b_i+50)-a_i-1$ karata, jer je jedna od njih na poziciji $a_i$ u donjem setu, a druga na poziciji $b_i$ u gornjem. Stoga je traženi rezultat jednak

$$\begin{aligned} &(b_1+50-a_1-1)+(b_2+50-a_2-1)+\cdots+(b_{50}+50-a_{50}-1)\\ &=(b_1+b_2+\cdots+b_{50})-(a_1+a_2+\cdots+a_{50})+50\cdot50-50\cdot1. \end{aligned}$$

Svaka zagrada sadrži zbroj svih brojeva od 1 do 50, pa je rezultat

$$50\cdot50-50=2450.$$