6. Zadatak

Neka je $n$ traženi broj. Kako je $n$ najmanji s opisanim svojstvima, a znamo da je djeljiv s 2, 3 i 5, mora biti oblika

$$n=2^a\cdot3^b\cdot5^c,$$

gdje su $a,b,c$ prirodni brojevi.

Polovina tog broja je $2^{a-1}\cdot3^b\cdot5^c$. Da bi taj broj bio kvadrat prirodnog broja, eksponenti $a-1,b,c$ moraju biti djeljivi s 2. Analogno, trećina broja $n$ je $2^a\cdot3^{b-1}\cdot5^c$ pa iz uvjeta da je trećina od $n$ kub prirodnog broja zaključujemo da su $a,b-1,c$ djeljivi s 3. Petina tog broja, $2^a\cdot3^b\cdot5^{c-1}$, bit će peta potencija prirodnog broja ako su $a,b,c-1$ djeljivi s 5.

Treba odrediti najmanje prirodne brojeve $a,b,c$ s tim svojstvima.

Najmanji broj $a$ koji je djeljiv s 3 i 5, a nije djeljiv s 2 je $a=15$. Najmanji broj $b$ koji je djeljiv s 2 i 5, takav da je $b-1$ djeljiv s 3 je broj $b=10$, a najmanji broj $c$ koji je djeljiv s 2 i 3, takav da je $c-1$ djeljivo s 5 je broj $c=6$.

Stoga je traženi broj

$$n=2^{15}\cdot3^{10}\cdot5^6\;(=30\,233\,088\,000\,000).$$