5. Zadatak

Neka je $\varphi$ vanjski kut pravilnog 2013-terokuta. Vrijedi

$$\varphi=\frac{360^\circ}{2013}.$$

Promatrajući jednakokračni trokut $A_3A_4A_5$ dobivamo da je

$$\angle A_5A_3A_4=\frac12\varphi.$$

Uočimo da je $A_1A_2A_3A_4$ jednakokračni trapez. Stoga je

$$\angle A_1A_4A_3=180^\circ-\angle A_2A_3A_4=\varphi.$$

Sada promatrajući trokut $A_3A_4S$ vidimo da je

$$\angle A_3SA_4=180^\circ-\angle SA_3A_4-\angle A_3A_4S =180^\circ-\frac12\varphi-\varphi =180^\circ-\frac32\varphi.$$

Konačno, traženi kut je

$$\begin{aligned} \angle A_3SA_4&=180^\circ-\frac32\cdot\frac{360^\circ}{2013}\\ &=180^\circ-180^\circ\cdot\frac3{2013}\\ &=\frac{2010}{2013}\cdot180^\circ\\ &=\frac{670}{671}\cdot180^\circ. \end{aligned}$$