4. Zadatak

Prvo rješenje.

Dodavanjem $\frac{a+b}{4}$ i $\frac{b+c}{4}$ na obje strane tražene nejednakosti, dobivamo

$$\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\right)\ge\frac{3a+2b-c}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}=a+b.$$

Posljednja nejednakost slijedi iz A–G nejednakosti jer je

$$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a \qquad\text{i}\qquad \frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b.$$

Drugo rješenje.

Izraze na lijevoj strani dane nejednakosti ocijenimo na sljedeći način:

$$\frac{a^2}{a+b}\ge\frac{pa+qb}{4} \qquad\text{i}\qquad \frac{b^2}{b+c}\ge\frac{pb+qc}{4},$$

pri čemu je, da bismo dokazali danu nejednakost, potrebno naći koeficijente $p$ i $q$ takve da je $(pa+qb)+(pb+qc)=3a+2b-c$. Brojevi za koje ova jednakost vrijedi za sve $a,b,c$ su $p=3$, $q=-1$. Preostaje nam dokazati nejednakost

$$\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{3x-y}{4}$$

za sve pozitivne realne brojeve $x$ i $y$.

Prethodna nejednakost je ekvivalentna nejednakostima

$$4x^2\ge(3x-y)(x+y),$$ $$x^2-2xy+y^2\ge0,$$ $$(x-y)^2\ge0,$$

a posljednja nejednakost očito vrijedi.

Treće rješenje.

Korištenjem Cauchy–Schwarz nejednakosti u Engel formi dobivamo da je

$$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}\ge\frac{(a+b)^2}{a+2b+c}=a+b-\frac{(a+b)(b+c)}{a+2b+c}\ge a+b-\frac{a+2b+c}{4}=\frac{3a+2b-c}{4}.$$

Ovdje zadnja nejednakost slijedi iz A–G nejednakosti jer je

$$\left(\frac{a+2b+c}{2}\right)^2=\left(\frac{(a+b)+(b+c)}{2}\right)^2\ge(a+b)(b+c).$$

Četvrto rješenje.

Množimo danu nejednakost s $4(a+b)(b+c)$ i nakon sređivanja dobivamo

$$a^2b-ab^2+a^2c+ac^2-b^2c+bc^2+2b^3-4abc\ge0,$$

a ta je nejednakost ekvivalentna s

$$b(a-c)^2+(a+c-2b)(ac-b^2)\ge0.\tag{♦}$$

Ako je $(a+c-2b)(ac-b^2)\ge0$, nejednakost očito vrijedi. Još treba dokazati nejednakost (♦) ako je $(a+c-2b)(ac-b^2)<0$.

Utvrdimo najprije kada je ovaj umnožak negativan. Naizgled postoje dva slučaja, ali jedini mogući je

$$a+c-2b>0,\qquad b^2>ac.$$

Tada je $b>\sqrt{ac}$ i $b<\frac{a+c}{2}$. Drugi slučaj otpada jer je $\sqrt{ac}<\frac{a+c}{2}$.

Dakle, nejednakost još nije dokazana samo u slučaju da se $b$ nalazi između geometrijske i aritmetičke sredine brojeva $a$ i $c$. Označimo $G=\sqrt{ac}$, $A=\frac{a+c}{2}$. Kako je $a+c=2A$ i $ac=G^2$, nije teško pokazati da je nejednakost (♦) ekvivalentna s

$$2A^2b-Ab^2+AG^2-3bG^2+b^3\ge0,$$

uz uvjet $G<b<A$.

No, ta je nejednakost ekvivalentna s

$$Ab(A-b)+b(A^2-G^2)+G^2(A-b)+b(b^2-G^2)\ge0$$

koja vrijedi jer je zbog $A>b>G$ vrijednost svake zagrade pozitivna. Time je polazna nejednakost dokazana.