5. Zadatak

Dane $3N$ točaka nazovimo vanjskim točkama. Svaki od $N$ lukova duljine 2 podijelimo na dva luka jednakih duljina jednom točkom, a svaki od $N$ lukova duljine 3 podijelimo na tri jednaka dijela dvjema točkama. Tih novih $3N$ točaka nazovimo unutarnjim točkama.

Ukupno unutarnjih i vanjskih ima $6N$ i one dijele kružnicu na $6N$ dijelova duljine 1. Zbog činjenice da je $6N$ paran broj zaključujemo da se dijametralno suprotno svakoj od tih $6N$ točaka nalazi također jedna od tih $6N$ točaka. Iz definicije unutarnjih točaka slijedi da ne postoje 3 uzastopne unutarnje točke.

Pretpostavimo suprotno tvrdnji zadatka da nikoje dvije od danih $3N$ vanjskih točaka nisu međusobno dijametralno suprotne. To znači da se dijametralno suprotno svakoj vanjskoj točki nalazi unutarnja točka. Kako vanjskih i unutarnjih točaka ima jednako, zaključujemo i da se dijametralno suprotno svakoj unutarnjoj točki nalazi vanjska točka.

Neka su $A$ i $B$ dvije proizvoljne vanjske točke koje čine luk duljine 1. Kao na slici, neka je točka $C$ dijametralno suprotna točki $A$, a točka $D$ dijametralno suprotna točki $B$. Nadalje, neka je točka $P$ (različita od $C$) takva da je luk $\widehat{PD}$ duljine 1, te neka je točka $Q$ (različita od $D$) takva da je luk $\widehat{CQ}$ duljine 1.

Točke $A$ i $B$ su vanjske točke pa su točke $C$ i $D$ unutarnje. Zbog činjenice da ne postoje 3 uzastopne unutarnje točke, zaključujemo da su točke $P$ i $Q$ vanjske. Dakle, nasuprot luka $\widehat{AB}$ duljine 1 se nalazi luk $\widehat{PQ}$ duljine 3. Kako lukova duljine 1 i 3 ima jednako, zaključujemo da vrijedi i obrat – nasuprot svakog luka duljine 3 nalazi se luk duljine 1.

Za $i\in\{1,2,3\}$, neka je $L_i$ broj lukova duljine $i$ unutar kraćeg luka $\widehat{AP}$ te neka je $D_i$ broj lukova duljine $i$ unutar kraćeg luka $\widehat{BQ}$.

Duljina luka $\widehat{AP}$ je $3N-2$ pa stoga vrijedi jednakost:

$$L_1+2L_2+3L_3=3N-2.\tag{*}$$

Zaključili smo da se nasuprot svakog luka duljine 1 nalazi luk duljine 3 i obratno pa vrijedi:

$$D_1=L_3.\tag{**}$$

Ukupno ima $N$ lukova duljine 1 pa vrijedi:

$$L_1+D_1=N-1,$$

odnosno, zbog (**),

$$L_1+L_3=N-1.\tag{***}$$

Oduzimanjem jednakosti (**) od jednakosti () dobijemo:

$$2L_2+2L_3=2N-1,$$

no to je nemoguće jer je lijeva strana prethodne jednakosti paran broj, a desna strana neparan broj. Stoga zaključujemo da je naša pretpostavka bila pogrešna pa postoje dvije vanjske točke koje su međusobno dijametralno suprotne.