1. Zadatak

Pretpostavimo da je moguće da je polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$ jednak $\sqrt{2014}$.

U trokutu $AXY$ kut nasuprot stranici $XY$ iznosi $60^\circ$ jer je trokut $ABC$ jednakostraničan. Ako je $R$ polumjer kružnice opisane trokutu $AXY$, onda je

$$|XY|=2R\sin60^\circ=\sqrt{2014}\cdot\sqrt3.$$

Označimo $|AX|=m$, $|AY|=n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi.

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $AXY$ dobivamo $m^2+n^2-2mn\cos60^\circ=|XY|^2$, odnosno

$$m^2+n^2-mn=2014\cdot3.$$

Primijetimo prvo da je desna strana jednakosti parna. Ako su $m$ i $n$ različite parnosti ili ako su oba neparna, onda je lijeva strana neparna, što je nemoguće.

Preostaje samo mogućnost da su i $m$ i $n$ parni brojevi. Tada je $m^2+n^2-mn$ djeljivo s 4, ali $2014\cdot3$ nije, pa je i to nemoguće.

Dakle, početna pretpostavka je pogrešna, odnosno $R$ ne može biti $\sqrt{2014}$.