4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo veličine kutova $\angle CAB$, $\angle ABC$ i $\angle BCA$ redom s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$.

Budući da je trokut $ACE$ pravokutan, prema obrtu Talesovog poučka hipotenuza $AE$ je ujedno i promjer tom trokutu opisane kružnice.

Kako je $D$ polovište te hipotenuze, slijedi da je $D$ ujedno i središte trokutu $ACE$ opisane kružnice, pa vrijedi $|DA|=|DC|$.

Slijedi da je trokut $CDA$ jednakokračan i znamo $\angle CAD=\angle DAC=\frac12(180^\circ-\angle CDA)$.

S obzirom na to da točke $A$, $B$, $C$ i $D$ leže na istoj kružnici, četverokut $ABCD$ je tetivan i vrijedi $\angle CDA=180^\circ-\beta$.

Iz prethodnih jednakosti imamo $\angle CAD=\frac12(180^\circ-(180^\circ-\beta))=\frac{\beta}{2}$.

Iz trokuta $AEC$ vidimo da je

$$\angle AEC=90^\circ-\angle CAE=90^\circ-\angle CAD=90^\circ-\frac{\beta}{2}.$$

Kako $I$ leži na simetralama kutova trokuta $ABC$, imamo

$$\begin{aligned} \angle AIC&=180^\circ-\angle IAC-\angle ICA\\ &=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}\\ &=180^\circ-\frac12(180^\circ-\beta)=90^\circ+\frac{\beta}{2}. \end{aligned}$$

Iz dobivenog vidimo da je $\angle AEC+\angle AIC=(90^\circ+\frac{\beta}{2})+(90^\circ-\frac{\beta}{2})=180^\circ$, što znači da je četverokut $AECI$ tetivan.

Prema tome, obodni kutovi $\angle IAC$ i $\angle IEC$ su sukladni, odnosno vrijedi $\angle IAC=40^\circ$.

Konačno, kako je $\angle IAC=\frac12\angle BAC$, zaključujemo $\angle BAC=80^\circ$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, možemo zaključiti da je $D$ središte kružnice opisane trokutu $ACE$ te da vrijedi $|DA|=|DC|$.

Kako je četverokut $ABCD$ tetivan, te kako je $I$ sjecište simetrala kutova trokuta $ABC$, možemo zaključiti

$$\angle CAD=\angle CBD=\frac{\beta}{2}$$ $$\angle ADB=\angle BCA=\gamma.$$

Sada vidimo da je

$$\angle IAD=\angle IAC+\angle CAD=\frac12\angle CAB+\angle CAD=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.$$

Iz trokuta $ADI$ imamo

$$\begin{aligned} \angle AID&=180^\circ-\angle ADI-\angle IAD\\ &=180^\circ-\angle ADB-\angle IAD\\ &=180^\circ-\gamma-\frac{\alpha+\beta}{2}\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2}. \end{aligned}$$

Prema tome, vrijedi $\angle AID=\angle IAD$, odnosno trokut $IDA$ je jednakokračan pa slijedi $|DA|=|DI|$.

Kako otprije znamo $|DA|=|DC|$, slijedi da je $D$ središte kružnice opisane trokutu $ACI$.

Dodatno, budući da je $|DA|=|DE|$, točka $E$ se također nalazi na toj kružnici pa je četverokut $AICE$ tetivan.

Na kraju možemo kao u prvom rješenju zaključiti $\angle BAC=2\angle IAC=2\angle IEC=80^\circ$.

U drugom rješenju moguće je primijeniti i analogno zaključivanje kako bi se dokazalo da je trokut $ICD$ jednakokračan.